Tilastollinen todennäköisyys sille että ei ole sattumaa?

[Potti]

Ongelma on seuraava. Olen luokitellut otteludatasta 858 tietyntyyppistä ottelua, joista kotivoittoon on päättynyt 416 eli 48.5%. Kaikista sarjan otteluista taas kotivoittoon on tällä aikavälillä päättynyt 53.8%. Miten lasken tilastollisen todennäköisyyden sille että näissä otteluissa on jokin kotivoittojen vähyyttä selittävä tekijä vai onko kaikki sittenkin ollut vain sattumaa. Tilastotieteen kurssilta muistan että pitäisi käyttää hajontaa ja keskivirhettä ja sitten katsoa vastaus jostain normaalijakauman kertymäfunktiosta mutta miten hajonta lasketaan tässä tapauksessa eli miten sovellan hajonnan näihin ottelutuloksiin? Tämä 5.3%-yksikön ero tuntuu melko suurelta ollakseen vain sattumaa ja hajontaa, mutta joku todennäköisyyshän sillekin on oltava.

[power]

No keskihajontaa varten tarvitset kaiketi tuon keskiarvon lisäksi jokaisen ottelun todennäköisyydet erikseen. Ja oikeita todennäköisyyksiähän yksittäisiin otteluihin on vähän vaikea tietää. Mutta ihan MuTulla sanoisin, että kyllä tuossa otannassa on selvästi havaittavissa jokin tekijä joka kotivoittojen todennäköisyyttä pienentää. Tietysti pitää olettaa ettei tuossa 858 ottelun otoksessa ole esim. enemmän huonojen joukkueiden kotiotteluita kuin koko sarjassa, eli pitää pystyä eliminoimaan datasta juuri se yksi haettava ominaisuus, jonka vaikutusta prosentteihin tutkii. Muiden "tekijöiden" pitää olla keskimäärin samat(satunnaiset) molemmissa otoksissa.

[Potti]

Eikö hajonnan voisi kuitenkin jotenkin estimoida ilman tarkkoja todennäköisyyksiä joka otteluun? Tai olettaisi joka otteluun keskimääräisen 53%-47% "arvion"? Tai ottaisi todennäköisyydet markkinoiden kertoimista ja olettaisi että ne on oikeat? Miten hajonta sitten lasketaan jos tiedetään oikeat todennäköisyydet?

[Oliver]

Jos kotivoiton todennäköisyys oletetaan vakioksi (0.538), niin kotivoittojen odotusarvo on n*0.538, jossa n on otteluiden määrä (858).

Satunnaismuuttujan arvo on 416. Millä tn:llä satunnaismuuttujan arvo on näin pieni (tai pienempi), kun otteluita on pelattu 858?

Laskettava binomijakauman kertymäfunktio nollasta pisteeseen 416. Excel ei välttämättä pysty tuota laskemaan, joten joudutaan käyttämään binomijakauman aproksimointia:

(416+0.5-858*0.538) / (858*0.538*(1-0.538))^0.5,

joka lähestyy normaalijakaumaa n:n kasvaessa. Tuon lausekkeen tulos siis katsotaan vaikka siitä normaalijakauman kertymäfunktiotaulukosta, niin saadaan suuntaa-antava (useimpiin tapauksiin täysin riittävä) arvio tuloksen todennäköisyydestä.

[Potti]

Exceliin laitoin: =BINOMDIST(416;858;0,538;1)

Tulos 0.001 eli tuohon mennessä on kertynyt vain 0.1% eli tämän perusteella pitäisi voida sanoa että todennäköisyys sille että kotivoittojen vähyys olisi vain sattumaa olisi 0.1%.

[pka]

Exceliin laitoin: =BINOMDIST(416;858;0,538;1)

Tulos 0.001 eli tuohon mennessä on kertynyt vain 0.1% eli tämän perusteella pitäisi voida sanoa että todennäköisyys sille että kotivoittojen vähyys olisi vain sattumaa olisi 0.1%.

Itse asiassa ei ihan näin.

Jos ongelma olisikin seuraava: Heitän kolikkoa kolme kertaa. Klaavaa ei tullut kertaakaan, vaikka arvioni klaavalle oli kullakin kerralla 50%. Mikä on todennäköisyys, että klaavojen vähyys oli vain sattumaa?

Tuolla esitetyllä tavalla laskettuna, pääteltäisiin, että todennäköisyys sille, että kyseessä olisi vain sattuma, olisi 12,5%. Jos kolikkoa voidaan pitää ennalta täysin virheettömänä, on kuitenkin täysin itsestäänselvää (todennäköisyys 100%), että kyseessä oli vain sattuma.

Asian kannalta onkin oleellista se, kuinka oikeiksi arviot voidaan alunperin olettaa. Jos tiedetään jo ennalta ehdottoman varmasti, että heitetään virheetöntä kolikkoa, voidaan 1000:nnenkin heiton jälkeen sanoa varmasti, että arviot kruunalle ja klaavalle ovat jatkossakin edelleen 50/50, oli heittojen tulokset mitä tahansa. Jos taas on jo ennalta hyvinkin selvää, että kolikko on painotettu, mutta ennalta ei vain tiedetä, millä tavoin, voidaan 1000:nnen heiton jälkeen pitää todennäköisyyksinä kutakuinkin toteutunutta esiintymisjakaumaa.

Jos vastaavaa sovelletaan sun ongelmaasi, on oleellista se, että kuinka mahdollista ennakkoon voisi olla, että ko. otteluissa kotietu on normaalia pienempi. Jos valitsit ottelut täysin sattumanvaraisesti, ei voida olettaa, että ko. otteluissa olisi jokin tekijä, joka selittäisi kotivoittojen vähyyden, vaikka tulos olikin tuollainen. Jos taas jo ennakkoon aavistelit, että kyseiseissä otteluissa saattaisi olla pienempi (tai ylipäätään erisuuruinen) kotietu kuin sarjan otteluissa keskimäärin, voidaan näiden tutkimusten valossa sitä pitää lähes varmana, että näin on.

[Potti]

Noinhan se tietysti on mutta olennaista on myös otoskoko, jos n=3 niin oli sitten kyseessä kolikon heitto tai urheilutapahtuma joka voi kääntyä kummallekin joukkueelle niin tuskin kukaan edes alkaa pohtia sitä oliko tämä sattumaa koska on selvää että sattuman osuus on liian suuri mutta sitten kun n kasvaa riittävän suureksi niin jos klaava ei tule likimain joka toinen kertaa niin on todennäköistä että kolikko on väärä.

Tässä tapauksessa oli nimen omaan kyseessä tutkimus, eikä otteluita ollut valittu satunnaisesti, vaan kaikissa oli sama mahdollisesti vieraiden voiton puolesta puhuva tekijä, jota markkinoiden kertoimet eivät hinnoittele lainkaan. Halusin vain matemaattisesti yrittää varmistella, ettei kyseessä olisi sittenkin vain sattuma ennen kuin alan systemaattisesti lyödä noissa rahat vierasvoittoon.

[pka]

Tässä tapauksessa oli nimen omaan kyseessä tutkimus, eikä otteluita ollut valittu satunnaisesti, vaan kaikissa oli sama mahdollisesti vieraiden voiton puolesta puhuva tekijä, jota markkinoiden kertoimet eivät hinnoittele lainkaan. Halusin vain matemaattisesti yrittää varmistella, ettei kyseessä olisi sittenkin vain sattuma ennen kuin alan systemaattisesti lyödä noissa rahat vierasvoittoon.

En olettanutkaan, että olisit valinnut otteluita satunnaisesti. Halusin vain tuoda esille sen, että varsinaista numeerista arviota todennäköisyydelle ei noilla keinoin saada. Jos jo alkuoletus oli, että ko. otteluissa on normaalia pienempi kotietu, on todennäköisyys sille, että kyse on sattumasta ja ko. otteluissa kotietu olisikin normaali, vielä pienempi kuin tuo 0,1%. Se, kuinka paljon pienempi, riippuu taas alkuoletuksesta. Sitä tuo laskelma ei kuitenkaan takaa, että keskimääräinen kotivoittojen todennäköisyys olisi yhtä pieni kuin toteutunut 48,5%, mutta siis yli 99,9% todennäköisyydellä se on alle 53,8%.

Jos olet tutkinut senkin, että markkinat eivät ole ko. juttua huomioineet, olet varmastikin löytänyt varsin tuottavan pelitavan. Onnittelut! Monikin jää varmasti uteliaana miettimään, mikä tämä löytämäsi rahasampo on, mutta oletan, että et aio sitä paljastaa, sillä jos aikoisit, olisit varmaankin tehnyt sen jo aiemmin tässä ketjussa

[Potti]

Tämä "menetelmä" laskea todennäköisyys muistuu mieleen Jacques Blackin kirjasta Profitable football betting, jossa otoskoon, keskihajonnan ja keskivirheen avulla arvioitiin, miten todennäköisesti tietyn lähteen vihjeet spredia vastaan olivat voitolliset. Tuo kirja ei kyllä matemaattisesti ollut kovinkaan "vakuuttava". Vastaavassa kohdassa todettiin kun esim. tietty sijoitusyhtiö oli voittanut markkina-indeksin selvästi useita kymmeniä vuosia niin tuolla menetelmällä laskemalla todennäköisyys sille että sijoitusyhtiö olisi markkinatuottoa "parempi" oli lähes 100%. Kyseessä oli se tunnettu Warren Buffettin yhtiö Berkshire Hathaway. Tämä vedonlyöntimenetelmäni ei ole kauhea kultakaivos sillä palautus olisi viimeiset 8 vuotta ollut "vain" 106%, ja kohteita on vain keskimäärin 175 kpl per vuosi. Tietysti tuleehan tuosta vaikkapa Kellylla panostaen pelikassa 50-kertaiseksi 8 vuodessa. Mitään takuita tietenkään ei ole että sama ilmiö toistuu tulevaisuudessa, ainakaan siinä mielessä että markkinat voivat havaita saman tekijän koska vaan.

[Oliver]

Selvennykseksi, että tuo kirjoituksessani annettu vastaus on vastaus nimenomaan kirjoituksessani esitettyyn omaan kysymykseeni, koska en ymmärtänyt (enkä ymmärrä vieläkään), mitä tässä loppupelissä yritettiin kysyä. Oletin, että haluttiin vain selvittää tn saadulle tulokselle (vain 49% kotivoittoja) eikä mitään muuta. Yritin jopa välttää väärien johtopäätösten tekemistä kirjoittamalla perusteellisen kahden rivin alustuksen. No, väärinkäsitykset taisi tulla jo selvitetyksi, joten nou hätä.