Tyhjä maali

[pekkasaukkola]

Jos lasken jääkiekko-ottelun viimeiseen erään joukkueille vaikka maaliodotukset jakamalla 60 min maaliodotukset kolmella ja lasken sitten poissonilla vikan erän tulosvetokertoimet niin miten pitää korjata sitä että joukkue joka on 1-2 maalia tappiolla ottaa lopussa maalivahdin pois? Paljonko esim. pudotetaan vikan erän 0-0 tulosta jos tilanne on kahden erän jälkeen toisen joukkueen johto 1-2 maalilla? Entä nostetaanko tasapeliä jos tilanne 2-2 pudotuspeleissä?

[credit]

Älä jaa koko ottelun maaliodotusarvoja kolmella. Älä laske Poissonilla. Muista, että yhden maalin johto on eri asia kuin kahden maalin johto.

[pekkasaukkola]

Miksi jaettua poissonia tai poissonia ei voisi käyttää ja onko ideaa sitten millä yhden erän tulokset lasketaan ja vielä huomioidaan tyhjä maali?

[credit]

Poisson-jakaumaa voi käyttää todennäköisyyksien laskemiseen, jos on (perustellusti) sitä mieltä, että maalimäärä noudattaa Poisson-jakaumaa. Oletko tutkinut asian?

[pekkasaukkola]

Kyllä jääkiekko-otteluiden maalinteko likimain noudattaa poisson-jakaumaa. Ainakin valmiista jakaumista se näyttäisi olevan paras. Siitä en sitten ole enää varma että noudattaako vaikka viimeiset 10 min poissonia 1/6 joukkueiden 60 min maaliodotuksilla. Vaikka maaliodotuksia joukkueittain nostaisikin viimeiseen erään melko reippaasti niin minusta poisson silti aliarvioi lopun maalintekotodennäköisyyksiä jos toinen joukkue on johdossa vaikka maalivahtia ei otettaisikaan pois. Sitä en ole vielä keksinyt miten tämän korjaisi.

[Spurs77]

Poisson-jakaumaa voi käyttää todennäköisyyksien laskemiseen, jos on (perustellusti) sitä mieltä, että maalimäärä noudattaa Poisson-jakaumaa. Oletko tutkinut asian?

Credit sulla on aika vahva mielipide tosta Poissonin käytöstä, jota jaat sitten kaikille alottelijoille ketä kysyy neuvoja. Fakta on, että tälläkin foorumilla on monta Poisson-jakaumaa käyttävää voittavaa petsaria. Sekä lätkässä, että futiksessa. Poissonin oletukset pitää toki ottaa huomioon ja miettiä, miten sitä pystyy käyttämään hyödykseen. Ns. "korjattu" Poisson-jakauma ei ehkä täytä tilastotieteellisiä kriteereitä, jotka tuntuvat sinulle olevan hirveän tärkeitä. Se ei kuitenkaan tarkoita, etteikö sitä käyttämällä voisi pystyä voitolliseen peliin myös pitkässä juoksussa.

[credit]

Kyllä jääkiekko-otteluiden maalinteko likimain noudattaa poisson-jakaumaa.

Itse en olisi ihan näin varma, mutta ehkä se jossain sarjassa todellakin noudattaa ...

Ainakin valmiista jakaumista se näyttäisi olevan paras.

Mitä jakaumia olet sitten kokeillut? Itse olen viime aikoina miettinyt paljon, olisiko eräs toinen tilastotieteestä ja todennäköisyyslaskennasta tuttu "valmis" jakauma parempi kuin Poisson, mutta en ole vielä ehtinyt kerätä dataa tutkiakseni asiaa.

Siitä en sitten ole enää varma että noudattaako vaikka viimeiset 10 min poissonia 1/6 joukkueiden 60 min maaliodotuksilla. Vaikka maaliodotuksia joukkueittain nostaisikin viimeiseen erään melko reippaasti niin minusta poisson silti aliarvioi lopun maalintekotodennäköisyyksiä jos toinen joukkue on johdossa vaikka maalivahtia ei otettaisikaan pois. Sitä en ole vielä keksinyt miten tämän korjaisi.

Kummallista, ettet ole huomannut sitä, että viimeisessä erässä tehdään keskimäärin hieman enemmän maaleja kuin esim. ensimmäisessä erässä (vaihtelee tietenkin sarjoittain). Tällöin Poisson-jakauman parametrina ei tietenkään voi käyttää joukkueen koko ottelun maaliodotusarvoa jaettuna kolmella, jos halutaan saada selville viimeisen erän maalimäärien todennäköisyydet.

Jos haluaa välttämättä käyttää Poisson-jakaumaa (mikä ei missään tapauksessa ole aivan onneton ratkaisu), niin pitää ajatella parametrin olevan ikään kuin ottelun aikana jatkuvasti muuttuva satunnaismuuttuja. Toisin sanoen satunnaismuuttujia eivät ole pelkästään joukkueiden maalimäärät, vaan myös itse maalimäärien todennäköisyyksien määrittämiseen käytettävän jakauman parametri. Empiirinen kysymys on tämän jälkeen ratkaista, miten tämän parametrin arvot muuttuvat ottelun lähestyessä loppuaan.

[pekkasaukkola]

Totta kai tiedän että viimeisessä erässä tehdään eniten maaleja. Se johtuu siitäkin että 1-2 maalia tappiolla oleva joukkue vetää usein maalivahtinsa pois ja tehdään tyhjä maali. Mitä poisson-jakaumaan tulee niin siitä on yliopistotason tutkimuksia Googlella löydettävissä että se kuvaa varsin hyvin jääkiekko-otteluista. Tosin parempi saattaisi olla Markovin ketju jossa on eri tiloja sen mukaan onko kiekko neutraalilla vai toisen puolustusalueella ja millä todennäköisyydellä syntyy maali ja miten siirrytään eri tiloihin. Semi-markov prosessi voisi toimia hyvin. Tosin edellytettäneen korkeamman matematiikan hallintaa. Noissa matemaatikoiden tutkimuksissahan muuten on todistettu että maalivahti kannattaisi ottaa pois 5-6 minuuttia ennen loppua jotta omat mahdollisuudet maalin tappiolla on parhaat kun oma maalintekotodennäköisysy kasvaa vaikka toki enemmän selvästi kasvaa toisen maalintekotodennäköisyys. Käytäntö ei tue tätä kun maalivahti otetaan pois liian "myöhään" minuutti tai pari loppua. Valmentajat eivät ole yliopistotason tutkijoita.

Se mitä lähinnä hain oli se että et voi katsoa tilastoista että vikassa erässä tehdään 40% maaleista. Keskimäärin ehkä näin mutta se vaikuttaa onko peli kahden erän jälkeen tasan jolloin vikassa erässä tuskin tehdään kovin selvästi enemmän maaleja kuin toisessa, toisin kuin jos toinen joukkue johtaa maalilla tai parilla. Tai no voihan tämänkin tutkia tilastoista, mistä vaan saisi tulokset siten että olisi erätulokset mukana vaikkapa sm-liigaan?

[TheSavageSam]

Noissa matemaatikoiden tutkimuksissahan muuten on todistettu että maalivahti kannattaisi ottaa pois 5-6 minuuttia ennen loppua jotta omat mahdollisuudet maalin tappiolla on parhaat kun oma maalintekotodennäköisysy kasvaa vaikka toki enemmän selvästi kasvaa toisen maalintekotodennäköisyys.

Saisinko lähteen tähän, kiitos.

[pekkasaukkola]

Noissa matemaatikoiden tutkimuksissahan muuten on todistettu että maalivahti kannattaisi ottaa pois 5-6 minuuttia ennen loppua jotta omat mahdollisuudet maalin tappiolla on parhaat kun oma maalintekotodennäköisysy kasvaa vaikka toki enemmän selvästi kasvaa toisen maalintekotodennäköisyys.

Saisinko lähteen tähän, kiitos.

http://germain.umemat.maine.edu/faculty ... man-01.pdf

[KilgoreTrout]

Noissa matemaatikoiden tutkimuksissahan muuten on todistettu että maalivahti kannattaisi ottaa pois 5-6 minuuttia ennen loppua jotta omat mahdollisuudet maalin tappiolla on parhaat kun oma maalintekotodennäköisysy kasvaa vaikka toki enemmän selvästi kasvaa toisen maalintekotodennäköisyys.

Saisinko lähteen tähän, kiitos.

http://germain.umemat.maine.edu/faculty ... man-01.pdf

Jos maalivahti otettaisiin pois yleisesti 5-6min ennnen loppua, muuttaisivat johdossa olevat joukkueet todennäköisesti myös taktiikkaansa. Kun aikaa on jäljellä vaikkapa noin 40 sekuntia, ei aina kannata edes yrittää laukoa tyhjiin. Ajan loppuun pelaaminen ja pitkän kiekon välttäminen riittää. Jos taas maalivahti olisi ajassa 54:00 pihalla, tottakai kentällä olisivat Mats Sundinit heittelemässä ampuja. Maali 30%-70% pitkä ei kuulostaisi ollenkaan huonolta viisi minuuttia ennen loppua, ajassa 59:45 kylläkin.

[credit]

Saisinko lähteen tähän, kiitos.

http://germain.umemat.maine.edu/faculty ... man-01.pdf

Jos maalivahti otettaisiin pois yleisesti 5-6min ennnen loppua, muuttaisivat johdossa olevat joukkueet todennäköisesti myös taktiikkaansa. Kun aikaa on jäljellä vaikkapa noin 40 sekuntia, ei aina kannata edes yrittää laukoa tyhjiin. Ajan loppuun pelaaminen ja pitkän kiekon välttäminen riittää. Jos taas maalivahti olisi ajassa 54:00 pihalla, tottakai kentällä olisivat Mats Sundinit heittelemässä ampuja. Maali 30%-70% pitkä ei kuulostaisi ollenkaan huonolta viisi minuuttia ennen loppua, ajassa 59:45 kylläkin.

Erittäin hyvä pointti. Artikkelissa ei tosiaan oteta huomioon, että johtavan joukkueen maalinteon todennäköisyys kasvaisi taktiikkamuutoksen seurauksena luultavasti paljon suuremmaksi kuin 7,83-kertaiseksi, mikä siis (artikkelin mukaan) vastaa nykytilannetta.

Silti artikkelin lähestymistapa on kaiken kaikkiaan mielenkiintoinen; mielestäni Markov-ketjun käyttö mallinnuksessa on selvä parannus siihen, että pelkästään oletetaan maalien tulevan toisistaan riippumatta Poisson-prosessin määrittämällä tavalla.

Tässäkin lähestymistavassa on kuitenkin omat ongelmansa. Itse kiinnitin ensimmäisenä huomiota siihen, että Markov-ketjussa jokainen yksittäinen tila (tai tn siirtyä kyseiseen tilaan) riippuu vain edellisestä tilasta. Tämä tarkoittaa esimerkiksi sitä, että mallinnuksessa on se ja sama, tuleeko kiekko keskialueelle joukkueen A vai joukkueen B alueelta, kun arvioidaan, minne kiekko keskialueelta seuraavaksi siirtyy. Jokainen jääkiekosta tietävä ymmärtää, ettei näin ole, vaan että kiekon tullessa joukkueen B alueelta keskialueelle, se siirtyy todennäköisemmin joukkueen A alueelle kuin takaisin joukkueen B alueelle (varsinkin NHL:ssä, jossa osataan kyllä lyödä kiekko päätyyn, jos hyökkäys uhkaa puuroutua keskialueelle). Lisäksi mallinnuksessa ei oteta huomioon sitä, kumman joukkueen hallussa kiekko on, vaan katsotaan vain missä se on (ilmeisesti sen vuoksi, ettei tällaiseen mallinnukseen tarvittavaa dataa ole saatavilla). Edelleen kirjoittaja olettaa, että kiekon siirtyminen pois esim. keskialueelta ei riipu siitä, kuinka pitkään se on siellä jo ollut (unohtamisominaisuus). Myös tämän oletuksen voi perustellusti kyseenalaistaa ...

Pistätkö pekkasaukkola vielä linkkejä joihinkin niistä lukemistasi yliopistotasoisista tutkimuksista, joissa todetaan jääkiekko-otteluiden maalimäärien noudattavan Poisson-jakaumaa.

[JussiQ]

Vähän menee ohi aiheen, kun tässä on pari nimikettä futikseen (Varmasti tuttuja suurelle osalle, mutta uusille varmasti tutustumisen aihetta), mutta poissonin ja markovin suhteen sopinee ketjun aiheeseen.

Ilmari Juva: Jalkapallo-ottelun lopputuloksen stokastinen mallintaminen (Googlella löytyy artikkeli)
Raitanen, Jani, Jalkapallo-ottelun lopputuloksen tilastollinen mallintaminen. Tampereen yliopisto, tilastotiede.

Jälkimmäistä ei löytynyt netistä, mutta itsellä on tuo .doc-tiedostoina, en tiedä sitten saako tuota jakaa. Yhtään en muista mistä sen alunperin sain vuosia sitten.

[timo]

Vähän menee ohi aiheen, kun tässä on pari nimikettä futikseen (Varmasti tuttuja suurelle osalle, mutta uusille varmasti tutustumisen aihetta), mutta poissonin ja markovin suhteen sopinee ketjun aiheeseen.

Ilmari Juva: Jalkapallo-ottelun lopputuloksen stokastinen mallintaminen (Googlella löytyy artikkeli)
Raitanen, Jani, Jalkapallo-ottelun lopputuloksen tilastollinen mallintaminen. Tampereen yliopisto, tilastotiede.

Jälkimmäistä ei löytynyt netistä, mutta itsellä on tuo .doc-tiedostoina, en tiedä sitten saako tuota jakaa. Yhtään en muista mistä sen alunperin sain vuosia sitten.

Kaikki Suomessa tehtävät opinnäytetyöt (muutamaa harvinaista poikkeusta lukuunottamatta)
kuten, pro gradu- ja diplomityöt ovat viranomaiselle toimitettuja asiakirjoja, jotka ovat julkisia!

Tämä Raitasen työ saatavissa Tampereen yliopistolta ja tietysti itse tekijäkin auttanee asiassa tarvittaessa
http://www.uta.fi/~jani.raitanen/

[JussiQ]

Kaikki Suomessa tehtävät opinnäytetyöt (muutamaa harvinaista poikkeusta lukuunottamatta)
kuten, pro gradu- ja diplomityöt ovat viranomaiselle toimitettuja asiakirjoja, jotka ovat julkisia!

Kyllä se on varsin yleistä, että opinnäytetyöt ovat salassapitosopimuksen alaisia esim. 5 vuoden ajan. Tämä yleensä silloin, kun työ on tehty yritykselle, eikä yritys tietenkään halua kaikkien tietoon tutkimustuloksia, mitä kilpailevat firmat voisivat käyttää. Oma nuoruudessani tehty lopputyö oli juuri tuollainen, nyt se tosin on jo kaikkien nähtävillä.

Tässä esimerkkitilasto:

Lappeenrannan teknillisessä yliopistossa viime vuonna valmistuneista 450 opinnäytteestä 28 prosenttia oli salaisia. -2006

[timo]

Kaikki Suomessa tehtävät opinnäytetyöt (muutamaa harvinaista poikkeusta lukuunottamatta)
kuten, pro gradu- ja diplomityöt ovat viranomaiselle toimitettuja asiakirjoja, jotka ovat julkisia!

Kyllä se on varsin yleistä, että opinnäytetyöt ovat salassapitosopimuksen alaisia esim. 5 vuoden ajan. Tämä yleensä silloin, kun työ on tehty yritykselle, eikä yritys tietenkään halua kaikkien tietoon tutkimustuloksia, mitä kilpailevat firmat voisivat käyttää. Oma nuoruudessani tehty lopputyö oli juuri tuollainen, nyt se tosin on jo kaikkien nähtävillä.

Tässä esimerkkitilasto:

Lappeenrannan teknillisessä yliopistossa viime vuonna valmistuneista 450 opinnäytteestä 28 prosenttia oli salaisia. -2006

Vaihtelee aika lailla aloittain. Esim. Aalto-yliopisto kertoo sivuillaan:

Kaikki suomessa tehtävät opinnäytetyöt kuten, pro gradu- ja diplomityöt ovat viranomaiselle toimitettuja asiakirjoja, jotka ovat julkisia. Opinnäyte saattaa joissakin tapauksissa sisältää tietoja liike- ja ammattisalaisuuksista, patentoimiskelpoisista keksinnöistä jne. Tälläisen tiedon sisällyttäminen lopputyöhön ei tee työstä salaista.

Halutessaan toimeksiantaja ja opiskelija voivat tehdä keskinäisen salassapitosopimuksen. Tämä ei kuitenkaan vaikuta julkaistavan opinnäytetyön sisältöön. On suositeltavaa, että toimeksiantaja ja lopputyön tekijä käyvät työn lävitse ennen sen palauttamista. Mahdolliset arkaluonteiset tiedot voidaan tällöin jättää pois julkaistavasta lopputyöstä.

Mutta ei jatketa tätä off-topicia sen enempää...

[Spurs77]

Mutta ei jatketa tätä off-topicia sen enempää...

Jatkan kuitenkin vielä lyhyesti

Itsellä gradun teko orastavasti aluillaan ja ohjeessa sanotaan näin:

Pro Gradu -tutkielma on julkinen asiakirja. Opinnäytetyön julkisuutta voidaan kuitenkin rajata ohjaajan suostumuksella, mikäli siihen on riittävän painavia syitä. Tutkielmaa ei kuitenkaan koskaan voi asettaa kokonaan salaiseksi.

...

Julkisuudelta rajatun tutkielman tapauksessa julkisessa säilytyksessä ja tietokannoissa käytetään aluksi tutkielman suppeampaa versiota. Julkisuuden rajaamisajan päätyttyä suppean version tilalle vaihdetaan täydellinen pro gradu -tutkielma.

Edit: Tampereen yliopiston kirjastolta näyttäisi löytyvän tuo em. Raitasen gradu. Kotilainaan ei saa, mutta kirjastolla voi käydä lukaisemassa, jos kiinnostaa.

[JussiQ]

Jep, Timolla ja Spursilla varmasti oikeat tiedot, mutta ei tuo salaaminen tosiaan mikään harvinaisuus ole. Liekö sitten säännöt muuttunet viime vuosina, mutta vuonna 2003 ainakin insinöörintöistä meidän koulussa lähes kaikki meni salaisiksi, jotka oli tehty jonkun firman toimeksiannosta. Muistan kyllä kun ohjaava opettaja sanoi, ettei näitä mielellään tehtäisi salaisiksi, mutta eipä siinä sen kummemmin vastalauseita tullut, kun firmasta pyyntö tuli 5 vuoden salassapidolle.

Mutta tosiaan käytännöt voivat olla erilaisia riippuen koulusta.

Edit. tuon Raitasen työn voisi liittää tuonne Ylikertoimen etusivuille, kunhan ne jossain vaiheessa aukeavat. (jos ylläpito tai joku muu jaksaisi kysellä luvan asianosaiselta)

[credit]

Liekö sitten säännöt muuttunet viime vuosina

Näin on käynyt. Itse suoritin ensimmäistä korkeakoulututkintoa vuosina 01-06. Aloittaessani opinnäytetyön salaaminen joko osittain tai kokonaan oli mahdollista - ja varsin yleistä. Valmistuessani tilanne oli toinen. Laki nimittäin muuttui siten, että kaikkien opinnäytetöiden on oltava kokonaisuudessaan julkisia. Sitä en kyllä muista, milloin uusi laki astui voimaan, ehkä joskus -04 tai -05.

[kuikani]

http://edu.tokem.fi/tiedostot/ohje_opm_28012004.pdf

[Zpr]

Ilmari Juva: Jalkapallo-ottelun lopputuloksen stokastinen mallintaminen (Googlella löytyy artikkeli)

Ilmari Juvan erikoistyön pohjalta viritelty Markov-sovellus: http://www.youtube.com/watch?v=jq8l8AagdjU

Voisiko tuosta olla työkaluksi live-vedonlyöntiin? Tosin maalintekointensiteetti ei liene vakio ottelun alusta loppuun, mutta ainahan mallia voi viilata. Juva johtopäätöksissään asian totesi, mutta ei ottanut asiaan sen kummemmin kantaa.

[credit]

Ilmari Juva: Jalkapallo-ottelun lopputuloksen stokastinen mallintaminen (Googlella löytyy artikkeli)

Ilmari Juvan erikoistyön pohjalta viritelty Markov-sovellus: http://www.youtube.com/watch?v=jq8l8AagdjU

Voisiko tuosta olla työkaluksi live-vedonlyöntiin? Tosin maalintekointensiteetti ei liene vakio ottelun alusta loppuun, mutta ainahan mallia voi viilata. Juva johtopäätöksissään asian totesi, mutta ei ottanut asiaan sen kummemmin kantaa.

Kyllä. Mielestäni paperissa esitetty malli on erittäin hyvä pohja - ja vieläpä suhteellisen simppeli. Samanlaisia ajatuksia olen itsekin pyöritellyt viime aikoina miettiessäni, kuinka jalkapallo-/jääkiekko-otteluita pitäisi mallintaa. Tietenkin kun mallia lähtee viilaamaan, siitä alkaa nopeasti tulla yhä monimutkaisempi ja monimutkaisempi. Esim. annettujen varoitusten, ulosajettujen pelaajien yms. ottaminen malliin parantaisi varmasti saatujen todennäköisyyksien tarkkuutta (live-vedonlyönnin osalta siis).

EDIT: Vielä sellainen huomio, että maalintekointensiteetti sisältyy osittain ottelun eri tiloihin; peli on ensimmäisen viiden minuutin jälkeen vähemmän todennäköisesti 1-0 kuin 85 minuutin jälkeen, joten maalintekointensiteetti on monesti suurempi ottelun lopussa jo pelkän tilan perusteella.

[Zpr]

Jopa hieman itse otsikon aihetta sivuten: visioin, että jääkiekossa erät 1-2 tarkastellaan yhdessä, erä 3 on erotettu näistä ja lisäksi kolmannesta erästä on erotettu 2 viimeistä minuuttia tilanteen ollessa 1-2 maalia jommankumman joukkueen hyväksi.

Tämä voisi olla hyvä lähtökohta jääkiekko-ottelun mallille sillä perusteella, että kolmas erä eroaa (todennäköisesti) maalintekointensiteetin osalta kahdesta ensimmäisestä ja lisäksi maalivahdin pois ottaminen on syytä huomioida (eroaa varmasti maalintekointensiteetiltään suuntaan jos toiseen).

Jalkapallo-ottelun malli on rutkasti yksinkertaisempi. Lähinnä siinä arvelluttaa tuo maalintekointensiteetin kehittyminen ottelun kuluessa, mutta villinä arvauksena voisi heittää, että intensiteetin kevyt lineaarinen kasvu on jo hyvä arvaus ja josain määrin lähellä todellista tilannetta.

Jääkiekko-ottelussa haittapuolena on kerättävän datan määrä, mutta tilanne ei kuitenkaan ole täysin toivoton. Lisäksi tällainen Markov-sovellus tarvitsee tietysti estimaatit joukkueiden maaliodotusarvoista (ja voimasuhteista).

[Mungo]

Jääkiekko-ottelussa on sen verran paljon toistaiseksi vielä mainitsemattomia muuttujia että mallintaminen on vaikeaa. Yksi esimerkki näistä muuttujista olkoon 1-vahdin ottaminen lepäämään ja pelin jäädyttäminen käytännössä vallitseviin lukemiin kesken ottelun tappiolla olevan joukkueen toimesta. Yhden jääkiekko-ottelun sisällä pelataan tavallaan monta pientä ottelua ottelun kulloisestakin maali- ja tavoitetilanteesta riippuen. NHL:ssä joukkueiden tavoitetilanne vaihtelee taas erittäin paljon otteluittain.

[credit]

Jääkiekko-ottelussa on sen verran paljon toistaiseksi vielä mainitsemattomia muuttujia että mallintaminen on vaikeaa. Yksi esimerkki näistä muuttujista olkoon 1-vahdin ottaminen lepäämään ja pelin jäädyttäminen käytännössä vallitseviin lukemiin kesken ottelun tappiolla olevan joukkueen toimesta. Yhden jääkiekko-ottelun sisällä pelataan tavallaan monta pientä ottelua ottelun kulloisestakin maali- ja tavoitetilanteesta riippuen. NHL:ssä joukkueiden tavoitetilanne vaihtelee taas erittäin paljon otteluittain.

Kun jotain ilmiötä aletaan mallintaa, niin tarkoitus ei välttämättä ole saada kaikkia tekijöitä heti mukaan malliin. Usein mallista jätetään jopa oleellisia tekijöitä ulos, jos tarkoitus on yrittää ymmärtää vain jonkin yksittäisen muuttujan vaikutusta tutkittavaan ilmiöön. Jos mallia on tarkoitus hyödyntää vedonlyönnissä ei tietenkään voida jättää mitään kovin oleellisia muuttujia ulos, mutta se ei tarkoita sitä, ettei voitaisi lähteä liikkeelle yksinkertaisesta perusmallista ja rakentaa siitä asteittain monimutkaisempaa. Mielestäni tuo Ilmari Juvan esittämä malli on tällainen varsin hyvä perusmalli. Sitä voisi soveltaa jääkiekkoonkin (jakaen ottelun esim. 5 sekunnin pätkiin). Eikä tuon esittämäsi muuttujan mukaan ottaminen muuttaisi mallin rakennetta mitenkään oleellisesti, korkeintaan siitä tulisi pari lisäparametria, joille pitäisi laskea arvot.

Yleisellä tasolla haluan vielä todeta, että täällä vallalla oleva "mallivastaisuus" tuntuu hieman hassulta ottaen huomioon, että suurin osa pelureista käyttää arvioidensa laskemisessa (ainakin joskus) Poisson-jakaumaa, joka itsekin on tilastollinen malli - joskin äärimmäisen yksinkertainen ja useimmiten väärin sovellettu.