Kelly-panostuksesta

[HaPA]

Oletetaan seuraava tilanne:
-Veikkaus antaa kohteelle kertoimen 2,65 ja odotusarvoksi saadaan
"luotettavalla" todennäköisyysarviolla 1,01. Kellyn kaava antaa
Kelly/8-panoksen kooksi (1,01-1)/(8*(2,65-1)) = 0,075% pelikassasta.
Pelaan tuon lievän ylikertoimen kautta kaksi tuplaa, yhteensä 0,075%
pelikassasta.
-Sitten huomaan Ladbrokesin tarjoavan samalle kohteelle single-
kertoimen 2,75, jolloin sen odotusarvoksi saadaan 1,05. Tälle singlelle
Kellyn kaava antaisi Kelly/8-panoksen kooksi 0,350% pelikassasta.

Kysymys:
Koska kyseessä on sama pelitapahtuma, ja olen jo ehtinyt pelata
sitä Veikkauksen kertoimella, miten määritän oikean panostuksen
Ladbrokesin singlelle?

Käsittääkseni voin ilman muuta pelata sitä, vaikka olenkin
jo pelannut Veikkaukselle ns. "täysillä", koska Ladbrokesin singlen
odotusarvo on korkeampi, mutta en selvästikään saisi pelata sitä
aivan niin isolla panostuksella kuin Kelly/8 antaisi. Olenko oikeassa?

[Pepe]

Olet oikeassa.

Optimipanos uudelle vedolle on pienempi kuin 0.350%, mutta suurempi kuin 0.350% - 0.075% = 0.275% (oletetaan, että tuplan apukohteiden oa=1). Tarkka laskeminen ei onnistu ilman tietoa apukohteiden todennäköisyyksistä ja kertoimista.


Jos olisit vetänyt singlenä kertoimella 2.65 ja saat myöhemmin kertoimen 2.75, optimipanos voidaan laskea seuraavasti:

x = (pk(1-x0)-k0x0(1-p)+x0-1) / (k-1),

missä
x0 aikaisempi panos
k0 aikaisempi kerroin
x uusi panos
k uusi kerroin
p todennäköisyys.

[power]

Olet oikeassa.
Jos olisit vetänyt singlenä kertoimella 2.65 ja saat myöhemmin kertoimen 2.75, optimipanos voidaan laskea seuraavasti:

x = (pk(1-x0)-k0x0(1-p)+x0-1) / (k-1),

missä
x0 aikaisempi panos
k0 aikaisempi kerroin
x uusi panos
k uusi kerroin
p todennäköisyys.

Sain tuolla kaavalla edellisen esimerkin laskettua uudeksi panokseksi n. 0.271% (tn 38.113%)

Jos pelikassa on 10000€, niin panoksiksi tulisi siis
7.5€ (kertoimella 2.65)
27.1€ (kertoimella 2.75)

Odotettu voittosumma 7.5€*2.65*0.38113 + 27.1€*2.75*0.38113 = n. 35.98€

Joten vedon odotusarvo = 35.98 / (7.5+27.1) = n. 1.0398844
Eli kerroin vedolle on n. 2.728424

Eli kelly/8 suosittelee n. 0.28844% panosta. Eli 10000€ pelikassasta
28.8€ Eli yhteispanos 7.5€+27.1€ = 34.6€ olisi reilusti ylipanostusta. Laskinko väärin vai missäkö vika?

[JussiQ]

Optimipanos uudelle vedolle on pienempi kuin 0.350%, mutta suurempi kuin 0.350% - 0.075% = 0.275% (oletetaan, että tuplan apukohteiden oa=1)

Eiköhän tuon pitäisi kuitenkin olla pienempi kuin 0,275%, koska muutoinhan yhteispanos ylittää 0,350%, joka olisi maksimipanos uudella paremmalla kertoimella. Eli nythän vedon yhteisodotusarvo on jossain 1,04 alapuolella ja sen mukaan kokonaispanos olisi max n. 0,3%, eli uuden vedon panos olisi jossain hieman yli 0,2% paikkeilla.

Itse harvoin optimoin näitä näin tarkkaan, vetelen lähinnä mutulla lisäpanoksia, joten saatan hyvinkin olla väärässä.

[Mamba]

Mäkin oon tainnut käyttää vähän liian suuria lisäpanostuksia, koska kokonaispanos täytyy tietenkin laskea keskiarvokertoimen eikä sen suuremman kertoimen mukaan.

Tuli vaan mieleen, että toi jälkimmisen vedon optimaalinen panos täytyy ilmeisesti laskea toisen asteen kaavalla koska panoskoko on riippuvainen keskiarvokertoimesta ja keskiarvokerroin taas on riippuvainen jälkimmäisen vedon panoskoosta.

[HaPA]

Kiitos hyvistä ajatuksista!

Huomasin itse, että nuo minun laskuesimerkit olivat siitä
huonoja, että olin pyöristellyt odotusarvoja. Tarkemmin
muotoiltuna oma esimerkkini menisi siis:

p = 38% (todennäköisyysarvio, vaikka JV)

k0 = 2,65 (vanha kerroin)
x0 = (p*k0-1)/(k0-1) /8 = (38%*2,65-1)/(2,65-1) /8 = 0,053 % (vanha panos)

Kelly/8-panostus pelkästään uuteen singleen olisi
x1 = (p*k-1)/(k-1) /8 = (38%*2,75-1)/(2,75-1) /8 = 0,321 %


k = 2,75 (uusi kerroin)
x = (pk(1-x0)-k0x0(1-p)+x0-1) / (k-1)
= (38%*2,75*(1-0,053%)-2,65*0,053%*(1-38%)+0,053%-1)/(2,75-1)
= 2,52 %
x/8 = 0,315%


Voisko joku vielä kertoa (esimerkein), miten tämä laskettaisiin , jos
otetaan huomioon, että ne vanhat vedot olivat tosiaankin
Veikkauksen tuplia?

[Pepe]

power:
Kokonaiskerroin ei ole vakio, vaan funktio, joka riippuu panoksesta uuteen kertoimeen. Kellyn (perus)kaava ei ole tällaisessa tapauksessa optimaalinen. Kellyn kaavahan saadaan derivaatan maksimikohtana kassan kasvun funktiosta f(x) = (1 + (k-1)x)^p * (1 - x)^(1 - p). Jos kertoimen paikalle sijoitetaan panoksesta riippuva tekijä, derivaatan tulos muuttuu. Järkevämpää kuitenkin ottaa ensimmäinen veto mukaan vakioterminä, jolloin derivoitava funktio on f(x) = (1 + (k0-1)x0 + (k-1)x)^p * (1 - x0 - x)^(1 - p).

Jussiq:
Ei se ole ylipanostusta ehdolla että huonompi veto on jo tehty. Kannattaa muistaa, että optimaalisessa mielessä pieni ylipanostus ei ole sen pahempi asia kuin pieni alipanostus. Optimaaliseen kassan kasvuun ei ole enää mahdollisuuksia, joten 'virhettä' (=aikaisempi veto) pitää korjata panostamalla enemmän.

[Pepe]

Tajusin just, että laskemani kaava ei oikein toimi kellyjakajan kanssa, koska se korjaa aikaisemman jakajasta johtuvan alipanostuksen.

Käytännössä oikea optimipanos + vanha panos on hiukan enemmän kuin panos pelkkään parempaan kertoimeen, joten suosittelen käyttämään estimaattia x - x0 uutena panoskokona.

x = optimipanos parempaan kertoimeen (ilman ehtoja)
x0 = aiemmin lyöty panos huonompaan kertoimeen

[Mamba]

Ei toi Pepen kaava voi olla oikein. Tai ainakin siitä puuttuu sulkuja tai jotain, sillä eri yksiköitähän ei voi summata yhteen.


x = (pk(1-x0)-k0x0(1-p)+x0-1) / (k-1),


x = (pk - pkx0 - k0x0 + k0x0p + x0 - 1) / (k - 1)

Yksiköillä laskettuna

x = (yksikötön - euro - euro - euro + euro - yksikötön) / yksikötön

edit: Voi se sittenkin olla oikein, jos panoskoko ilmoitetaan prosentteina pelikassasta. Ja se myös selittää sen miksei kaava toimi kelly-jakajien kanssa.

edit2: Kaava saattaisi toimia kelly-jakajan kanssa jos vanha panos kerrottaisiin kellyjakajalla x0 -> x0*kellyjakaja.

siis

x = (pk(1-(x0j))-k0x0j(1-p)+x0j-1) / j(k-1),

jossa

j = kellyjakaja

Täytyy testailla paremmalla ajalla.

[Pepe]

edit2: Kaava saattaisi toimia kelly-jakajan kanssa jos vanha panos kerrottaisiin kellyjakajalla x0 -> x0*kellyjakaja.

Näin se toimii. Toinen yhtäpitävä vaihtoehto on laskea kaikki panokset ensiksi Kellyn mukaan ja sitten jakaa halutulla jakajalla.

Panoskoko on tosiaan prosentteina.

[power]

power:
Kokonaiskerroin ei ole vakio, vaan funktio, joka riippuu panoksesta uuteen kertoimeen. Kellyn (perus)kaava ei ole tällaisessa tapauksessa optimaalinen. Kellyn kaavahan saadaan derivaatan maksimikohtana kassan kasvun funktiosta f(x) = (1 + (k-1)x)^p * (1 - x)^(1 - p). Jos kertoimen paikalle sijoitetaan panoksesta riippuva tekijä, derivaatan tulos muuttuu. Järkevämpää kuitenkin ottaa ensimmäinen veto mukaan vakioterminä, jolloin derivoitava funktio on f(x) = (1 + (k0-1)x0 + (k-1)x)^p * (1 - x0 - x)^(1 - p).

Minun mielestäni kerroin on vakio silloin kun sen voi laskea
eli, kun panos on asetettu. Tässä tapauksessa siis tuo 27.1€.
Mutta uskon että sinä olet varmasti oikeassa. Minä yritin
ajatella asiaa vain "maalaisjärjen" avulla, en jaksa ihan
noin korkean matematiikan kautta tälläistä panosasiaa
lähteä miettimään. Mitenkäs muuten lasketaan panos, jos noiden
kahden vedon jälkeen kolmannelta yhtiöltä löytyy vaikka
2.95 kerroin?

[Pepe]

Toki kerroin vakioituu panostamisen jälkeen, mutta yhteiskerroin 2.728424 ei ole käytettävissä kuin 27.1 euron panostuksella kertoimeen 2.75, kun on aikaisemmin panostettu 7.5 euroa kertoimelle 2.65.

Kellyn suosittelemaa 28.8 euron vetoa kertoimelle 2.728424 ei voida siis tehdä.

Kertoimelle 2.95 lyötävän lisäpanoksen voi laskea sijoittamalla nämä aikaisemmat yhteiskertoimet ja yhteispanokset em. kaavaan.

[power]

Toki kerroin vakioituu panostamisen jälkeen, mutta yhteiskerroin 2.728424 ei ole käytettävissä kuin 27.1 euron panostuksella kertoimeen 2.75, kun on aikaisemmin panostettu 7.5 euroa kertoimelle 2.65.

Kellyn suosittelemaa 28.8 euron vetoa kertoimelle 2.728424 ei voida siis tehdä.

Ei voi. Mutta sen panoksen mitä Kelly suosittelee voi löytää kokeilemalla eri arvoilla. Tässä tapauksessa jossakin 15-20€ välillä. Ja tuolloin siis yhteispanos on sama kuin Kelly suosittelee. Ja kun panos on asetettu, sen jälkeen minun mielestäni ei ole enää väliä millä funktiolla optimipanos on laskettu. Sitten on tietenkin toinen asia, kannattaako tehdä kassaa nopeammin kasvattava veto ylipanostuksella vai hitaammin kasvattava oikealla panoksella.

[TTM]

Tehdäänpä astetta vaikeampi kysymys. Millä kaavalla lasken panostukseni, jos lyön vetoa vaikka siitä, että kumpi kahdesta joukkueesta pääsee jatkoon esimerkiksi UEFA-cupin tai CL:n välierissä ja lyön vielä samaa joukkuetta koko cupin voittajaksi?

[JussiQ]

Jussiq:
Ei se ole ylipanostusta ehdolla että huonompi veto on jo tehty. Kannattaa muistaa, että optimaalisessa mielessä pieni ylipanostus ei ole sen pahempi asia kuin pieni alipanostus. Optimaaliseen kassan kasvuun ei ole enää mahdollisuuksia, joten 'virhettä' (=aikaisempi veto) pitää korjata panostamalla enemmän.

Tästä olisi mukava kuulla muidenkin mielipiteitä. Itse en täysin vielä sisäistänyt tuota että ylipanostus olisi ratkaisu. Miksei sitten aina panostettaisi liikaa ihan normaaleihinkin kohteisiin jos se kerran on hyvä vaihtoehto.

[KXJ]

Tästä olisi mukava kuulla muidenkin mielipiteitä. Itse en täysin vielä sisäistänyt tuota että ylipanostus olisi ratkaisu. Miksei sitten aina panostettaisi liikaa ihan normaaleihinkin kohteisiin jos se kerran on hyvä vaihtoehto.

Jos panostetaan optimaalisesti ei panosteta liikaa. Tilannehan on aina täysin deterministinen eli kaikki muuttujat ovat tiedossa. Se, että panostetaan enemmän kuin jossain muussa tilanteessa ei pitäisi tietenkään vaikuttaa.

[Pepe]

Tehdäänpä astetta vaikeampi kysymys. Millä kaavalla lasken panostukseni, jos lyön vetoa vaikka siitä, että kumpi kahdesta joukkueesta pääsee jatkoon esimerkiksi UEFA-cupin tai CL:n välierissä ja lyön vielä samaa joukkuetta koko cupin voittajaksi?

Tilanteessa, jossa lyödään kaksi vetoa niin, että toinen voi osua vain jos toinen osuu optimaaliset panokset ovat seuraavan yhtälön maksimikohdan x1:n ja x2:n arvot:

f(x1,x2) =
(1 + (k1-1)x1 + (k2-1)x2)^p1
* (1 - x1 + (k2-1)x2)^(p2-p1)
* (1 - x1 - x2)^(1-p2)

x1 panos kohteeseen 1
x2 panos kohteeseen 2
p1 kohteen 1 tn
p2 kohteen 2 tn
k1 kohteen 1 kerroin
k2 kohteen 2 kerroin

Pitää olla p1 < p2.

Optimaaliset panokset kannattaa etsiä tekemällä hila, jossa x1 ja x2 saavat arvoja väliltä (0,1), laskea näille arvoille yo. funktion arvo, etsiä sen maksimikohta ja katsoa x1:n ja x2:n arvot kyseisessä kohdassa.

Tämä kaava toimii myös spread & moneyline panostuksessa jenkkilajeihin.

[vande]

Alla kopio exceltaulukolla toteutetusta numeerisesta lähestymistavasta.

Oletukset:
Kassa 10000,
rajakerroin laskettu 2,65:sta oa:lla 1,01 =2,62... jota käytetään pyöristämättömänä Kelly/8 panosta laskettaessa.

10000 2,65 1,01 Raja 2,62

panokset tak kok tak/kok id kok-id
p1 p2 p1k1+p2k2 p1+p2 PainKerr Kelly/8
7,5 19,0 72,13 26,58 2,722 27,10 -0,52
7,5 19,2 72,68 26,78 2,722 27,16 -0,38
7,5 19,4 73,23 26,98 2,722 27,21 -0,23
7,5 19,6 73,78 27,18 2,722 27,26 -0,08
7,5 19,8 74,33 27,38 2,723 27,32 0,06
7,5 20,0 74,88 27,58 2,723 27,37 0,21
7,5 20,2 75,43 27,78 2,723 27,42 0,36
7,5 20,4 75,98 27,98 2,723 27,47 0,51
7,5 20,6 76,53 28,18 2,723 27,52 0,66
7,5 20,8 77,08 28,38 2,723 27,57 0,81
7,5 21,0 77,63 28,58 2,724 27,62 0,96

Eli kasvatetaan lisäpanosta toisessa sarakkeessa 0,2:lla ja lasketaan kokonaipanoksia vastaava palautus. Tästä saadaan kokonaispanostusta vastaava painotettu kerroin. Tälle lasketaan Kelly/8-panos oletuksella 2,62... on oikea raja. Ja nähdään, että panosta p2 lisättäessä, kokonaispanos lähestyy toivottua Kelly/8-panosta.

Siis n. 2,0% :n lisäpanos (19,7e) olisi tämän mukaan paikallaan.

Jos laskutoimitukset yllyttävät panostamaan enemmän kuin Kelly-kaava edellyttäisi, ei panostus olisi enää Kelly-panostusta.

Käytössä olevien tn-arvioiden virhettä arvioisin kirjanpidon perusteella eli todelliset osumat/odotetut osumat riittävän pitkältä jaksolta. Pieni virhe tn-arvioissa muuttaa optimipanosta yllättävän paljon

Summarum. Panosoptimointi on hirvittävän tärkeä asia kassan säilymisen ja sen jälkeen kasvun kannalta, joten näitä asioita on syytä harjoitella. Mieluummin vähän lisäpanosta kuin liikaa ja pyrkien systemaattisesti ja johdonmukaisesti samaan riskitasoon.

EDIT: Numero-osio näyttää vähän sekavalta, mutta päättelemällä otsikoiden paikata löytynevät.

[JPabc]

Tässä ollaan kyllä nyt periaatteessa ratkaisemassa jo sisällöltäänkin ristiriitaista kysymystä; "Mikä on optimaalinen panos Kelly/8:lla jos..." ... siis jos "optimaalisella" viitataan maksimaaliseen pelikassan kasvuun.

Optimaalinen panoshan on Kelly/1... Selvää on että pelattava summan on tietysti oltava vähintään uuden kertoimen mukainen Kellypanos miinus aiemmin pelattu panos. ( Aiemmin pelatun panoksen voinee vähentää kassasta, ei pitäisi olla suurta merkitystä) Kaikki enemmän pelattu sitten taas ylittää Kelly/8 lla määritetyn kohdekohtaisen riskin. Tarkemmin laskematta tai simuloimatta tulee mieleen, että onko perusteltua paljoakaan ylittää aiemmin määriteltyä yhden kohteen riskiä jos jo seuraavan vedon voi taas pelata optimaalisesti.

Kuvitteellisessa tilanteessa jossa tulisi rajaton määrä toineen toistaan suurempia kertoimia ja niihin pelattaisiin koko ajan lisää rahaa ( enemmän kuin yllä mainittu) oltaisiin äkkiä (kelly/1 :llä) tilanteessa jossa kokonaispanos kohteeseen ja suhteessa tuotto-odotukseen olisi tolkuton. Eli tehty mikä tehty, aiemmalla vedolle ei saa lisätuottoa, eikä sen aiheuttamaa riskiä vähennettyä. Kellypanosten erotus kannattaa silti varmasti pelata.

[vande]

Kommentti tuohon optimaalisuuteen: Kellypanostuksen optimaalisuus katoaa heti, kun käytössä olevissa arviossa on vähääkään virhettä. Koska useinmiten on, kaavan käyttö ilman jakajia ei ole järkevää. Jakajalla pyritään vähentämään arvioissa olevaa virhettä. Panosmääritystä jakaa käyttämällä voidaan kuitenkin pitää ihanteellisena jos kassan suhteen on kasvuodotuksia. Tässä yhteydessä optimaalisuus pitää kai tulkita väljästi.

[Mamba]

Jakajalla pyritään vähentämään arvioissa olevaa virhettä.

Mä ajattelen ton ihan toisella tavalla. Itse vähennän arvioimastani todennäköisyydestä jonkun marginaalin, jonka suuruus riippuu siitä miten hyvin tunnen sarjaa/lajia/vetomuotoa. Lasken panoskoon kellyllä jakajan kanssa käyttämällä tätä pudotettua todennäköisyyttä.

Olen varovainen pelaaja enkä edes pyri maksimoimaan kassan kasvua vaan nään kellyjakajan suuruuden lähinnä eräänlaisena riskitasona ja kassan vuoristoratailmiön vaimentajana.

Kassan kasvunopeuden maksimoinnissa kellyllä ilman jakajaa ei mun mielestä ole edes järkeä sillä absoluutisen oikeillakin todennäköisyyksillä riski hävitä esim. 90% kassasta on erittäin suuri. Tai ainakin aivan liian suuri mulle.

[Eetvartti]

Yksi syy voisi olla vaikka sen takia, että jos olet sm-liiga "guru" ja tiedät periaatteessa miten peleissä käy eli tavallaan sinulla on tieto halussa ja monen vuoden kokemus + merkkisestä saldosta. Tällöin voit vaikka huoleti pistää rahasi kellyn kaavan mukaan. Mutta sitten pelaat jotain hieman epävarmempaa vaikka nhl, mistä et tiedä ihan kaikkea niin siihen ei kannata rahojaan heti tuhlata. Eli jos pidät 1000€ pelikassaa niin tuolla tavoin voit olla jo vaikka 20 väärinmenneen "varman" pelin jälkeen aika nollilla. Mutta kun tiedät, että et osaa aivan tarkalleen pelata nhl vetoja voi tuota panosta pienentää jakajalla eli jos olet todella hukassa voisi kuvitella kelly/8, kohtuullinen tietämys kelly/4 ja hyvä tietämys kelly/2....noin itse teen, mutta itselläni ei ole missään lajeissa käytössä kellyä ilman jakajaa...mutta eipä ainakaan mene heti pelikassa nollille...

Joskus kirjoitin noin, mutta ehkä muuttaisin sitä seuraavasti, että kyllä hyvällä tietämyksellä voi pelata myös kelly/4, mutta kelly/2 vaatii oikeastaan todella hyvää tietämystä!
Pelkällä kellyllä panostaminen vaatii todella rautaisia hermoja...

Toisaalta kellyn jakajaa voi säädellä myös siten mistä lyödään vetoa.
Eli sanotaan nyt vaikka, että u/o tai vaikka +?,5 tasoitukset, joissa on vain 2 vaihtoehtoa veikata niin voisi kuvitella pelaavan niitä vaikka kelly/4.
Sitten taas normaalissa 1x2 tarvitsee veikata 3:sta oikea tulos jolloin osumisprosentti ei ole niin suuri kuin u/o vedoissa voisi kuvitella käytettävän vaikka kelly/5 tai kelly/6 ihan oman maun mukaan
Tulosvedossa riski tuloksia hakiessa voisi käyttää kelly/8 tai suurempia...

Mutta siis nuo jakaja luvut nyt olivat vain esimerkkiä mahdollisista vaihtoehdoista käytettäessä jakajaa. Tottakai jokainen päättää itse millä jakajalla lähtee vetojaan tekemään ja kuinka paljon on valmis vetoihinsa sijoittamaan
[/quote]

[vande]

Olen varovainen pelaaja...

Varovaisuuteen tai varman päälle pelaamiseen pyrin itsekin. Pelivalinnan odotusarvoraja on rutiinivedoissa 1.03 kieppeillä . Tuo antaa arvioille anteeksi parin %-yksikön virheen. Kun haluan lisätä osumistiheyttä, kelpuutan peleihin ns. rajatapauksia esim. pelaamalla apumerkkinä tasuria. Näillä vedoilla pyrin pienentämään kassavaihteluja.